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反函数与原函数的关系是什么?

时间:2022-01-15 08:09:34 作者:王新艳 118

反函数与原函数的关系:反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域;函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原函数也是其反函数的反函数,故函数的原函数与反函数互称为反函数;偶函数必无反函数;奇函数如果有反函数,其反函数也是奇函数;原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同;他们的图像是关于y=x对称的。

一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的是函数幂,但不是指数幂。

原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x),如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例如:sinx是cosx的原函数。

反函数与原函数关系:

1、函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原函数也是其反函数的反函数,故函数的原函数与反函数互称为反函数。

2、反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域。

3、只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数,由此得出下面4点:

(1)偶函数必无反函数。

(2)单调函数必有反函数。

(3)奇函数如果有反函数,其反函数也是奇函数。

(4)原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。

4、互为反函数的图象间的关系。

函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,关于这一关系的理解要注意以下三点:

(1)函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴,纵坐标轴为y轴,而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的;

(2)(a,b)在y=f(x)的图象上<=>(b,a)在y=f-1(x)的图象上;

(3)若y=f(x)存在反函数y=f-1(x),则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f(x)=f-1(x),即原、反函数的解析式相同。

本文关键词:反函数函数

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